Affiner Raum/Ab- und Aufsteigungseigenschaften/Endlicher Körper/Länge/Aufgabe

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Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen in und von Idealen in . Zeige die folgenden Aussagen.

a) Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette

von affin-algebraischen Mengen stationär.


b) Für einen unendlichen Körper und wird nicht jede aufsteigende Kette

von affin-algebraischen Mengen stationär.


c) Für (einen beliebigen Körper und) wird nicht jede absteigende Idealkette

stationär.

d) Für einen unendlichen Körper und gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge.