Affiner Raum/Ab- und Aufsteigungseigenschaften/Endlicher Körper/Länge/Aufgabe

Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und von Idealen in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette

${}V_{0}\subseteq V_{1}\subseteq V_{2}\subseteq \ldots \,$

von affin-algebraischen Mengen stationär.

b) Für einen unendlichen Körper und ${}n\geq 1$ wird nicht jede aufsteigende Kette

${}V_{0}\subseteq V_{1}\subseteq V_{2}\subseteq \ldots \,$

von affin-algebraischen Mengen stationär.

c) Für (einen beliebigen Körper und) ${}n\geq 1$ wird nicht jede absteigende Idealkette

${}{\mathfrak {a}}_{0}\supseteq {\mathfrak {a}}_{1}\supseteq {\mathfrak {a}}_{2}\supseteq \ldots \,$

stationär.

d) Für einen unendlichen Körper und ${}n\geq 1$ gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge.

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