Affiner Raum/Affiner Unterraum/Durchschnittseigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn der Durchschnitt leer ist, so gilt die Aussage nach Definition. Es sei  ${}P\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$.  Wir können die affinen Unterräume als

${}F_{i}=P+U_{i}\,$

mit Untervektorräumen  ${}U_{i}\subseteq V$  schreiben. Sei

${}U=\bigcap _{i\in I}U_{i}\,,$

was nach Fakt  (1) ein Untervektorraum ist. Wir behaupten

${}\bigcap _{i\in I}F_{i}=P+U\,.$

Aus  ${}Q\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$  folgt

${}Q=P+u\,$

mit  ${}u\in \bigcap _{i\in I}U_{i}$,  sodass  ${}Q\in P+U$  liegt. Umgekehrt folgt aus  ${}Q\in P+U$  direkt  ${}Q\in P+U_{i}=F_{i}$. 

Zur bewiesenen Aussage