Vektorraum/Durchschnitt/Erzeugendensystem und aufgespannter Unterraum/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es sei ${}U_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Untervektorräumen. Dann ist auch der Durchschnitt

   ${}U=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,$

   ein Untervektorraum.

2. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Elementen in ${}V$ ist der erzeugte Untervektorraum ein Untervektorraum von ${}V$.
3. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn

   ${}\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V\,$

   ist.

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