Affiner Raum/Affiner vierdimensionaler Raum als 2x2-Matrizen/Determinante/Beispiel

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Eine -Matrix

ist durch die vier Zahlen eindeutig festgelegt. Man kann eine solche Matrix also mit einem Punkt im identifizieren. Bei dieser Interpretation ist es sinnvoll, die Variablen mit zu bezeichnen. Man kann sich dann fragen, welche Eigenschaften von Matrizen sich durch algebraische Gleichungen beschreiben lassen. Wir diskutieren dazu einige typische Eigenschaften.

Eine obere Dreiecksmatrix liegt genau dann vor, wenn ist. Die Menge der oberen Dreiecksmatrizen ist also die Nullstellenmenge von .

Eine invertierbare Matrix liegt vor, wenn ist. Die Menge der nicht invertierbaren Matrizen wird also durch die algebraische Determinantenbedingung beschrieben.

Eine Matrix beschreibt die Multiplikation mit einem Skalar, wenn sie eine Diagonalmatrix mit konstantem Diagonaleintrag ist. Diese Menge wird durch die drei Gleichungen und beschrieben.

Ein Element ist nach Fakt ein Eigenwert einer Matrix genau dann, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Matrix ist, d.h. wenn

ist. In der linearen Algebra ist normalerweise die Matrix vorgegeben und man sucht nach Nullstellen dieses Polynoms in einer Variablen. Man kann es aber auch umgekehrt sehen und vorgeben, und das Nullstellengebilde

in den vier Variablen untersuchen. Diese Gleichung beschreibt also die Menge aller Matrizen, die als Eigenwert besitzen.

Entsprechend besitzt eine Matrix genau dann die beiden Eigenwerte , wenn

ist. Die Differenz der beiden Gleichungen ist

die eine solche Matrix erst recht erfüllen muss. Wegen kann man das als

schreiben. Für eine Matrix nennt man die Summe der Diagonaleinträge die Spur der Matrix. Die zuletzt hingeschriebene Gleichung besagt also, dass für eine Matrix mit Eigenwerten die Spur die Summe dieser Eigenwerte sein muss.

Das charakteristische Polynom einer Matrix kann man auch schreiben als

mit

Insbesondere haben Matrizen genau dann das gleiche charakteristische Polynom, wenn ihre Spur und ihre Determinante übereinstimmen. Damit kann man auch sagen, dass die Menge der Matrizen mit einem vorgegebenen charakteristischen Polynom die Faser unter der Abbildung

ist. Diese Abbildung ist durch einfache polynomiale Ausdrücke gegeben. Ist diese Abbildung surjektiv? Sehen die Fasern immer gleich aus, d.h., besitzt die Menge der Matrizen mit vorgegebener Spur und Determinante immer die gleiche Struktur, oder gibt es da Unterschiede? Sei und vorgegeben. Dann geht es um die Lösungsmenge zu

Hierbei ist durch eindeutig festgelegt, und umgekehrt. Man kann daher eine Variable eliminieren, indem man setzt. Dann ergibt sich das „äquivalente“ System in den drei Variablen , mit der einzigen Gleichung

Unter „äquivalent“ verstehen wir hier, dass die Lösungen des einen Systems mit den Lösungen des anderen Systems in einer Bijektion stehen, die durch Polynome gegeben ist. An dieser letzten Umformung sieht man, dass es stets eine Lösung geben muss: Man kann für einen beliebigen Wert vorgeben und erhält eine Gleichung der Form , die Lösungen besitzt.

Durch eine lineare Variablentransformation kann man die Gleichung noch weiter vereinfachen. Sie vorausgesetzt, dass in invertierbar ist (dass also die Charakteristik von nicht ist). Dann kann man mit (und mit )

mit schreiben. Daraus sieht man, dass die Gestalt der Matrizenmenge mit vorgegebener Spur und Determinante nur von abhängt. In der Tat ist nun, wenn dieser Term null ist oder nicht, das Nullstellengebilde verschieden. Im ersten Fall hat es eine Singularität, im zweiten Fall nicht, wie wir später sehen werden.