Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affin unabhängig/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Von (1) nach (2). Es sei $i_0$ fixiert. Nehmen wir an, dass die Vektoren $\overrightarrow{P_{i_0}{P}_i}$, $i\ne i_0$ linear abhängig sind. Dann gibt es ein

$j\ne i_0$

derart, dass sich $\overrightarrow{P_{i_0}{P}_j}$ als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Es gilt also

$\overrightarrow{P_{i_0}{P}_j}=\sum _{i\ne i_0,j}{c}_i\overrightarrow{P_{i_0}{P}_i}.$

Dann ist

$\begin{array}{cc}{P}_j& =P_{i_0}+\overrightarrow{P_{i_0}{P}_j}\\ & =P_{i_0}+\sum _{i\ne i_0,j}{c}_i\overrightarrow{P_{i_0}{P}_i}\\ & =P_{i_0}+(1-\sum _{i\ne i_0,j}{c}_i)\overrightarrow{P_{i_0}{P}_{i_0}}+\sum _{i\ne i_0,j}{c}_i\overrightarrow{P_{i_0}{P}_i}\\ & =\sum _{i\ne j}{c}_i{P}_i\end{array}$

mit

$c_{i_0}=1-\sum _{i\ne i_0,j}{c}_i.$

Somit liegen zwei verschiedene baryzentrische Kombinationen des gleichen Punktes vor im Widerspruch zur affinen Unabhängigkeit.

Von (2) nach (3) ist eine Abschwächung (wenn die Punktmenge leer ist, so sind alle vier Bedingungen wahr).

Von (3) nach (4). Die Familie

$\overrightarrow{P_i{P}_1},\dots ,\overrightarrow{P_i{P}_{i-1}},\overrightarrow{P_i{P}_{i+1}},\dots ,\overrightarrow{P_i{P}_n}$

ist linear unabhängig, daher eine Basis des davon erzeugten Untervektorraums. Daher ist $P_1,\dots ,P_n$ nach Definition eine affine Basis des von (Ihnen erzeugten Unterraums.

Von (4) nach (1). Seien

$\sum _{i=1}^n{a}_i{P}_i=\sum _{i=1}^n{b}_i{P}_i$

zwei baryzentrische Kombinationen, also

$P_{i_0}+\sum _{i\ne i_0}{a}_i\overrightarrow{P_{i_0}{P}_i}=P_{i_0}+\sum _{i\ne i_0}{b}_i\overrightarrow{P_{i_0}{P}_i}$

und damit

$\sum _{i\ne i_0}(a_i-b_i)\overrightarrow{P_{i_0}{P}_i}=0.$

Weil $P_1,\dots ,P_n$ eine affine Basis des von Ihnen erzeugten Raumes bilden, ist die Familie $\overrightarrow{P_{i_0}{P}_i},i\ne i_0$, linear unabhängig in $V$ und daher gilt $a_i=b_i$.

Zur gelösten Aufgabe