Affiner Raum/Grundregeln/Aufgabe/Lösung

Nach der Definition ist

${}P+{\overrightarrow {PQ}}=Q\,$

und ${}{\overrightarrow {PQ}}$ ist der einzige Vektor mit dieser Eigenschaft.

(1). Es ist einerseits nach der Vorbemerkung

${}P+{\overrightarrow {PP}}=P\,$

und andererseits nach der ersten Eigenschaft der Definition

${}P+0=P\,,$

also ist

${}{\overrightarrow {PP}}=0\,.$

(2). Es ist einerseits

${}P+{\overrightarrow {PQ}}=Q\,$

und andererseits

${}Q=Q+0=Q+({\overrightarrow {QP}}-{\overrightarrow {QP}})=P-{\overrightarrow {QP}}\,,$

also ist

${}{\overrightarrow {PQ}}=-{\overrightarrow {QP}}\,.$

(3). Es ist

${}P+{\overrightarrow {PR}}=R=Q+{\overrightarrow {QR}}={\left(P+{\overrightarrow {PQ}}\right)}+{\overrightarrow {QR}}=P+{\left({\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}\right)}\,,$

also ist

${}{\overrightarrow {PR}}={\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe