Affiner Raum/Produkt mit K/Realisierung/Aufgabe

Es sei ${}E$ ein nichtleerer affiner Raum über einem ${}K$ -Vektorraum ${}V$ . Es sei ${}P\in E$ ein fixierter Punkt und

\theta \colon V\longrightarrow E,\,v\longmapsto P+v,

die zugehörige Bijektion. Mit Hilfe dieser Bijektion identifizieren wir ${}E$ mit

{}E'={\left\{(v,1)\in V\times K\mid v\in V\right\}}\,

durch die Abbildung

\varphi \colon E\longrightarrow E',\,P\longmapsto (\theta ^{-1}(P),1).

a) Zeige, dass ${}E'$ ein affiner Unterraum von ${}V\times K$ ist mit dem Translationsraum ${}V\times 0$ .

b) Zeige

{}\varphi (Q+v)=\varphi (Q)+v\,

für alle ${}Q\in E$ .