Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt/Beweis

Beweis

Die Inklusion  ${}T\subseteq V(\operatorname {Id} \,(T))$  wurde in Fakt  (1) gezeigt. Da ${}V(\operatorname {Id} \,(T))$ nach Definition abgeschlossen ist, folgt daraus  ${}{\overline {T}}\subseteq V(\operatorname {Id} \,(T))$. 

Es sei umgekehrt  ${}P\in V(\operatorname {Id} \,(T))$  und sei  ${}P\notin {\overline {T}}$  angenommen. Dies bedeutet, dass es eine Zariski-offene Menge ${}U$ gibt mit  ${}P\in U$  und  ${}U\cap T=\emptyset$.  Es sei  ${}U=D({\mathfrak {a}})$.  Die Bedingung  ${}P\in U$  bedeutet, dass es ein  ${}G\in {\mathfrak {a}}$  mit  ${}G(P)\neq 0$  geben muss. Es ist dann  ${}P\in D(G)\subseteq U$  und damit  ${}T\cap D(G)=\emptyset$.  Also ist  ${}T\subseteq V(G)$  und somit  ${}G\in \operatorname {Id} \,(T)$.  Wegen  ${}G(P)\neq 0$  ergibt sich ein Widerspruch zu  ${}P\in V(\operatorname {Id} \,(T))$. 

Zur bewiesenen Aussage