Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt/Beweis

Beweis

Die Inklusion  $T\subseteq V(\mathrm{Id}(T))$  wurde in Fakt  (1) gezeigt. Da $V(\mathrm{Id}(T))$ nach Definition abgeschlossen ist, folgt daraus  $\bar{T}\subseteq V(\mathrm{Id}(T))$. 

Es sei umgekehrt  $P\in V(\mathrm{Id}(T))$  und sei  $P\notin \bar{T}$  angenommen. Dies bedeutet, dass es eine Zariski-offene Menge $U$ gibt mit  $P\in U$  und  $U\cap T=\mathrm{\varnothing }$.  Es sei  $U=D(𝔞)$.  Die Bedingung  $P\in U$  bedeutet, dass es ein  $G\in 𝔞$  mit  $G(P)\ne 0$  geben muss. Es ist dann  $P\in D(G)\subseteq U$  und damit  $T\cap D(G)=\mathrm{\varnothing }$.  Also ist  $T\subseteq V(G)$  und somit  $G\in \mathrm{Id}(T)$.  Wegen  $G(P)\ne 0$  ergibt sich ein Widerspruch zu  $P\in V(\mathrm{Id}(T))$. 

Zur bewiesenen Aussage