Affiner Unterraum

Einleitung

Diese Seite zum Thema der affinen Unterräume kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

(1) Zusammenhang zum Untervektorraum
(2) Bezug zu Lösungsmengen inhomogener linearer Gleichungssysteme
(3) Anwendungen von affinen Unterräumen

Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Affiner Unterraum hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

Inhaltliche Zielsetzung

Diese Lernressource behandelt einen affinen Unterraum eines Vektorraums.

In der linearen Algebra ist ein affiner Unterraum eines Vektorraums eine Teilmenge, die durch Verschiebung aus einem Untervektorraum hervorgeht. Ein solcher affiner Unterraum ist auch ein affiner Raum im Sinne der analytischen Geometrie.

Veranschaulichung

Die folgende Abbildung zeigt eine Ebene im dreidimensionalen $\mathbb {R}$ -Vektorraum. Die blau markierte Ebene ist ein affiner Unterraum, der durch Verschiebung eines Untervektorraumes als Ursprungsebene um einen Stützvektor (rot) entsteht.

Bemerkung

Zu affinen Unterräumen eines affinen Punktraums siehe Definition eines affinen Raum.

Definition- Affiner Unterraum

Eine Teilmenge $M$ eines Vektorraums $V$ heißt affiner Unterraum, wenn es einen Vektor $p$ aus $V$ und einen Untervektorraum $U$ von $V$ gibt, sodass

M=s+U=\left\{s+u\mid u\in U\right\}

gilt. In diesem Fall heißt $s$ auch Stützvektor von $M$ und $U$ der $M$ zugeordnete lineare Unterraum (der Verbindungsvektoren).

Eindeutigkeit des Untervektorraumes

$U$ ist durch $M$ eindeutig bestimmt. Alle $w\in V$ mit $w-s\in U$ sind Stützvektoren von $A$ (d.h. $w\in M$ . Die Dimension von $A$ ist die Dimension von $U$ .

Eindimensionaler Fall

Ein eindimensionaler affiner Unterraum heißt affine Gerade. Ein zweidimensionaler affiner Unterraum heißt affine Ebene.

Definition - Hyperebene

Hat der zu einem affinen Unterraum $M$ gehörige lineare Unterraum $U$ die Kodimension $1$ , so nennt man $A$ eine affine Hyperebene.

Leere Menge - analytische Geometrie

In der analytischen Geometrie wird gelegentlich auch die leere Menge als affiner Unterraum bezeichnet. Sie hat dann als affiner Raum die Dimension $\dim \emptyset =-1$ und ihr ist kein linearer Unterraum zugeordnet, da ein Untervektoräume $U$ nie leer ist und zumindest dn Nullvektor enthält.

Anschauliche Betrachtung

Als Untervektorraum $U$ werde eine Ursprungsgerade im dreidimensionalen Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ gewählt, für die gilt:

U:=\left\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\ \colon \ \ \exists _{\lambda \in \mathbb {R} }:\ {\vec {x}}=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}

$U$ ist hier $x_{3}$ -Achse mit ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$

Stützvektor

Als Stützvektor wird ${\vec {s}}\in V$ mit

{\vec {s}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}

gewählt.

Eindimensionaler affiner Unterraum

Dann ist der affine Unterraum $M={\vec {s}}+U$ eine Gerade, die um $(1|0|0)$ (also um eine Einheit in $x_{1}$ -Richtung) verschoben ist, mit der Gleichung:

h\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\mu \ {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

mit

\mu \in \mathbb {R}

Verschiebung eines Untervektorraumes

Die auf diese Weise entstehende verschobene Gerade ist ein affiner Unterraum, aber kein Untervektorraum von $V$ , da sie den Nullvektor nicht enthält.

Aufgaben

Sei $A\in Mat(m\times n,\mathbb {K} )$ eine Sei $m\times n$ -Matrix über dem Körper $\mathbb {K} )$ . Zeigen Sie, dass die nicht-leere Lösungsmenge $\mathbb {L} _{A,b}:=\left\{x\in \mathbb {K} ^{n}\ \colon \ A\cdot x=b\right\}$ eines inhomogene linearen Gleichungssystems $A\cdot x=b$ mit $b\in \mathbb {K} ^{m}$ eine affiner Unterraum vom $\mathbb {K} ^{n}$ ist.
Auf einem Vektorraum $V$ ein Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {K}$ , ein Skalar $\lambda \in \mathbb {K} \setminus \{0\}$ und ein Vektor $v\in V\setminus \{0_{V}\}$ gegeben, Zeigen Sie, dass die Menge

M:=\{x\in V\ \colon \ \langle v,x\rangle =\lambda \}

ein affiner Unterraum von

V

, der kein Untervektorraum von

V

ist. Geben Sie einen Stützvektor

p\in V

und einen Untervektorraum

U

, für den

M=p+U

gilt.

Erläutern Sie, wie man einen affinen Unterraum zusammen mit einem Skalarprodukt eine Hilbertraum $V$ in zwei Halbräume zerlegen kann! Welcher Zusammenhang besteht zum maschinellen Lernen und der Verwendung einer Support Vector Machine

Dimensionsformel für affine Unterräume

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $\mathbb {K}$ und seien $M_{1},M_{2}$ zwei affine Unterräume von $V$ .

Dimensionsformle für den Verbindungsraum

In beiden Fällen der folgenden Dimensionsformeln steht $M_{1}\vee M_{2}$ für den Verbindungsraum oder die affine Hülle von $M_{1}=s_{1}+U_{1}$ und $M_{2}=s_{2}+U_{2}$ mit:

Nicht disjunkter Fall der Dimensionsformel

Für den Fall, dass $M_{1}$ und $M_{2}$ nicht disjunkt ist, gilt die Dimensionsformel:

\dim(M_{1}\vee M_{2})=\dim(M_{1})+\dim(M_{2})-\dim(M_{1}\cap M_{2})

Der nicht disjunkte Fall gilt ebenfalls unter der Bedingung, dass einer der beiden Räume leer.

Disjunkter Fall der Dimensionsformel

Falls $M_{1}$ und $M_{2}$ jedoch disjunkt und nichtleer sind, lautet die Dimensionsformel

\dim(M_{1}\vee M_{2})=\dim(M_{1})+\dim(M_{2})-\dim(U_{1}\cap U_{2})+1,

wobei $U_{1}$ aus der Darstellung $M_{1}=s_{1}+U_{1}$ (mit festem $s_{1}\in M_{1}$ und dem zugeordneten linearen Unterraum $U_{1}$ von $V$ ) erhalten wird. Analog erhält man $U_{2}$ mit $M_{2}=s_{2}+U_{2}$ für ein festes $s_{2}\in M_{2}$ .

Eigenschaften

Da in der Definition eines affinen Unterraums auch $v=0$ gewählt werden kann, ist jeder Untervektorraum gleichzeitig affiner Unterraum. Ein affiner Unterraum ist genau dann ein Untervektorraum, wenn er den Nullvektor enthält.

Der Lösungsraum eines inhomogenen linearen Gleichungssystems in $n$ Variablen über dem Körper $K$ ist ein affiner Unterraum von $K^{n}$ , falls die Lösungsmenge nicht leer ist. Jeder affine Unterraum kann durch ein solches Gleichungssystem beschrieben werden. Alternativ kann ein affiner Unterraum auch als affine Hülle von Vektoren oder, wie direkt aus der Definition folgt, mit Hilfe eines Stützvektors und einer Basis des Untervektorraums angegeben werden.

Literatur

Gerd Fischer: Lineare Algebra. ISBN 3-528-03217-0, S. 166 ff. (Auszug (Google)}).
Siegfried Bosch: Lineare Algebra. ISBN 978-3-540-76437-3, S. 65 ff.

Siehe auch

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