Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum

Geschichte - Einordnung

Ein Hilbertraum (auch Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum), benannt nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert, ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.

Bezug zur Banachraum-Definition

Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen, versehen mit einem Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$. Ein Hilbertraum ist ein Banachraum, dessen Norm $\|\cdot \|$ durch ein Skalarprodukt über $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren.

Zusätzlich geometrische Strukturen

Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem Banachraum weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a.

• Orthogonalität bzw.
• genauer Winkel zwischen Vektoren können definiert werden.- und Längenbegriffen –, bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Norm (des Längenbegriffs) ist.

Topologie

Hilberträume tragen durch die induziert Norm $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ eine topologische Struktur. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von Normen bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen.

Vollständigkeit

Da jeder Hilbertraum ein Banachraum ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ vollständig sein.Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem Prähilbertraum.

Dimension von Hilberträumen

Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine Hilbertraumdimension. Diese kann eine beliebige Kardinalzahl sein oder unendlichdimensional.

Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen

Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper:

• ($\mathbb {R}$ euklidischen Raum): über dem Körper die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ bezeichnet man den Hilbertraum als euklidischen Raum und
• ($\mathbb {C}$ unitären Raum): über dem Körper die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ bezeichnet man den Hilbertraum als unitären Raum.

Anwendungen

In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der Quantenmechanik, ist „der“ Hilbertraum mit abzählbarer Dimension, d. h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung.

Hamel-Basis

Ein Element eines Hilbertraums kann als eine Familie einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen kartesische Koordinaten genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer Hamelbasis ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in abzählbar vielen Koordinaten einer Orthonormalbasis ungleich null und die Koordinatenfamilie ist quadratsummabel (endliche Norm des Elementes).

Definition: Skalarprodukt

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K}$ der reellen oder komplexen Zahlen. Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt ist allgemein eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform, wobei im reellen Fall $\mathbb {R}$ das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist.

Bemerkung

Die Axiome, die ein Skalarprodukt für $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ zu einer positiv definiten hermitesche Sesquilinearform machen, bzw. im Fall $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt.

Skalarproduktes: Abbildung

Bzgl. des gewählten Körper $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ das heißt eine Abbildung

$\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to {\mathbb {K} }$,

die für alle $x$, $y$, $z$ aus $V$ und für alle $\lambda \in {\mathbb {K} }$ die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt. Die Unterschiede zwischen $\mathbb {R}$- und $\mathbb {C}$-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben.

Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit

Das Skalarprodukt mit $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ist in der ersten Komponente linear, d.h.

• (1)    $\langle {x},{x}\rangle \geq 0$   (nicht negativ) $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$;
• (2)    $\langle {x},{x}\rangle =0\Leftrightarrow {x}={0}$   (definit) $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$;

Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch

Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch

• (3-R)    $\langle {x},{y}\rangle =\langle {y},{x}\rangle$   (symmetrisch) $\mathbb {K} =\mathbb {R}$
• (3-C)    $\langle {x},{y}\rangle ={\overline {\langle {y},{x}\rangle }}$   (hermitesch) $\mathbb {K} =\mathbb {C}$

Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente

Das Skalarprodukt im reellen Fall $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ in der 1. Komponente linear.

• (4.1-R)  $\langle \lambda {x},{y}\rangle =\lambda \langle {x},{y}\rangle$   und
• (4.2-R)  $\langle {x}+{y},{z}\rangle =\langle {x},{z}\rangle +\langle {y},{z}\rangle$   (linear im ersten Argument).

Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente

Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ in der 1. Komponente semilinear, d.h.

• (4.1-C)  $\langle \lambda {x},{y}\rangle ={\overline {\lambda }}\langle {x},{y}\rangle$   und
• (4.2-C)  $\langle {x}+{y},{z}\rangle =\langle {x},{z}\rangle +\langle {y},{z}\rangle$

Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente

Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt linear

• (5.1)  $\langle {x},\lambda {y}\rangle =\lambda \langle {x},{y}\rangle$   und
• (5.2)  $\langle {x},{y}+{z}\rangle =\langle {x},{y}\rangle +\langle {x},{z}\rangle$

Bemerkung 1

Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet komplexe Konjugation. In einem reellen Vektorraum (also wenn ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in $\mathbb {C}$ 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in $\mathbb {C}$ ebenfalls nachweisen. en in

Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät

Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt:

Definition: Prähilbertraum

Ein Prähilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt.

• ($\mathbb {R}$ euklidischen Raum): Über dem Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform und
• ($\mathbb {C}$ unitären Raum): Über dem Körper der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ ist das Skalarprodukt eine hermitesche Sesquilinearform.

Definition: Hilbertraum

Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ mit einem Skalarprodukt

$\langle \cdot ,\cdot \rangle V\times V\to \mathbb {K} ,$

der bezüglich der induzierten Norm $\|v\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}$ vollständig ist.

Bemerkung: Vollständigkeit

Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist.

Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit

Sei $\mathbb {C}$ ein Körper und $(\mathbb {C} ,\langle \cdot ,\cdot \rangle$ der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in $\mathbb {C}$.

$\mathbb {C} [x]:=\left\{p\,\left|\,(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{oo}(\mathbb {C} )\wedge p(x):=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}\cdot x^{n}\right.\right\}$ die Menge der Polynome mit Koeffizienten in $\mathbb {C}$.

Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten

Für das Polynom mit $p_{3}:=1+i$, $p_{2}:=2+2i$, $p_{1}:=0$ und $p_{0}:=-2i$ erhält man das folgende Polynom aus $\mathbb {C}$.

$p(x):=(1+i)\cdot x^{3}+(2+2i)\cdot x^{2}-2i\cdot x^{0}$

Die Folge $(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{o}}=(-2i,0,2+2i,1+i,0,0$ liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen $c_{oo}(\mathbb {C} )$ (siehe Folgenräume).

Folgen von Polynomen

Man definiert

Beispiel für einen Prähilbertraum

Sei $[a,b]\subset \mathbb {R}$ und $V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ der Vektorraum der stetigen Funktionen von $[a,b]$ nach $\mathbb {R}$. Man definiert zunächst eine Abbildung von $V_{1}\times V_{1}$ nach $\mathbb {R}$ wie folgt:

$\displaystyle \langle f,g\rangle _{1}=\int _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)\,{\rm {d}}x$

Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes

Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach!

Norm auf dem Prähilbertraum

Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes

$\|f\|_{1}:={\sqrt {\langle f,f\rangle _{1}}}={\sqrt {\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx}}$

Augabe - Norm einer Funktion

Berechnen Sie für $[a,b]:=[-1,10]$ und $f\in V_{1}$ mit $f(x):=x^{2}$ die Norm $\|f\|_{1}$ der Funktion $f$!

Konvergenz von Funktionenfolgen

Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von

• punktweiser Konvergenz und
• gleichmäßiger Konvergenz (Geogebra-Applet von Andreas Lindner)

von Funktionenfolgen.

Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Sei $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion in $V_{1}$.

punktweise Konvergenz:	${\stackrel {\displaystyle \forall }{\scriptstyle \varepsilon >0}}\ {\stackrel {\displaystyle \forall }{\scriptstyle x\in [a,b]}}\ {\stackrel {\displaystyle \exists }{\scriptstyle N_{\varepsilon ,x}\in \mathbb {N} }}\ {\stackrel {\displaystyle \forall }{\scriptstyle n\geq N_{\varepsilon ,x}}}\ :\quad \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,$ und
gleichmäßige Konvergenz:	${\stackrel {\displaystyle \forall }{\scriptstyle \varepsilon >0}}\ {\stackrel {\displaystyle \exists }{\scriptstyle N_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }}\ {\stackrel {\displaystyle \forall }{\scriptstyle n\geq N_{\varepsilon }}}\ {\stackrel {\displaystyle \forall }{\scriptstyle x\in [a,b]}}\ :\quad \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$

Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum

Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei $[a,b]=[4,7]$ und als erste Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ wird ein Polynom definiert.

$f(x):={\frac {3}{10}}\cdot x^{2}-2$

Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ gewählt.

$g(x):=2\cdot cos(x)+1$

Die folgende Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V_{1}^{\mathbb {N} }$ entsteht als Konvexkombination $f_{n}:=(1-{\frac {1}{n}})\cdot f+{\frac {1}{n}}\cdot g$ von $f$ und $g$.

Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen

Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen. Der Parameter $t\in [0,1]$ wird verwendet, um die Funktionenfolge für $t:={\frac {1}{n}}$ zu erzeugen.

Aufgabe

Zeigen Sie, dass $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig auf $[a,b]$ gegen $f\in V_{1}$ konvergiert.

Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum

Nun wird eine Cauchy-Folge in $V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ definiert, die nicht in $V_{1}$ konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder $f_{1},...,f_{2}0$

Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum

Die Punkte $P_{k}\in \mathbb {R} ^{2}$ werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von $n\in \mathbb {N}$ festgelegt: $P_{1}=(-1,4),\,P_{2}=(4,4),\,P_{3}={\bigg (}-1-{\frac {3}{n}},0{\bigg )},\,P_{4}={\bigg (}4+{\frac {3}{n}},0{\bigg )},\,P_{5}=(-4,0),\,P_{6}=(7,0)$ Die stetigen Funktionen $f_{n}$ werden durch die Interpolation der Punkte generiert.

Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme

Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion $f_{n}$!

${\begin{array}{rcl}f_{n}:[a,b]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lcl}4&{\mbox{ für }}&x\in [-1,4]\\0&{\mbox{ für }}&x\in \left[-4,-1-{\frac {3}{n}}\right]\cup \left[4+{\frac {3}{n}},7\right]\\?&{\mbox{ für }}&x\in \left]-1-{\frac {3}{n}},-1\right[\\?&{\mbox{ für }}&x\in \left]4,4+{\frac {3}{n}},-1\right[\end{array}}\right.\\\end{array}}$

Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft

Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ ist!

Grenzfunktion nicht im Funktionenraum

Die folgende Funktion $f_{o}:[a,b]\to \mathbb {R}$ ist nicht stetig und daher $f_{0}\notin V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ mit $[a,b]:=[-4,7]$.

${\begin{array}{rcl}f_{n}:[a,b]&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{lcl}4&{\mbox{ für }}&x\in [-1,4]\\0&{\mbox{ sonst }}&\end{array}}\right.\\\end{array}}$

Vervollständigung des Funktionenraumen

Die folgende Funktion $f_{o}:[a,b]\to \mathbb {R}$ ist ein Element der Vervollständigung ${\overline {V_{1}}}$ von $V_{1}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in der Norm $\|f\|:={\sqrt {\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx}}$ gegen $f_{0}\in {\overline {V_{1}}}$ konvergiert!

Prähilbertraum über den komplexen Zahlen

Analog kann mit $[a,b]\subset \mathbb {R}$ diese obige Beispiel auf einen einen $\mathbb {C}$-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen $\mathbb {C}$-Vektorraum $V_{2}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {C} )$ über die Definition des Skalarproduktes:

$\displaystyle \langle f,g\rangle _{2}=\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\cdot g(x)\,{\rm {d}}x$

Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform

Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als:

$\displaystyle \langle f,g\rangle _{3}=\int _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)\,{\rm {d}}x$

Damit wäre die Abbildung von $V_{2}\times V_{2}$ nach $\mathbb {C}$ eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf $V_{2}:={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {C} )$ mit der Abbildung $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{3}$ nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an!

Definition: Hilbertraum

Ein Hilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum $H$ mit einem Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ ist, d.h., dass also jede Cauchy-Folge bzgl. der Norm $\|\cdot \|$ konvergiert.

Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum

Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum.

Konvention Seminlinearität - 1. Komponente

Im Folgenden sei das Skalarprodukt linear im zweiten und semilinear im ersten Argument, d. h. ist $H$ ein komplexer Vektorraum und sind $u,v\in H$ Vektoren und $\lambda \in \mathbb {C}$ ein Skalar (komplexe Zahl), so ist

$\langle u,\lambda v\rangle =\lambda \langle u,v\rangle$ und $\langle \lambda u,v\rangle ={\bar {\lambda }}\langle u,v\rangle$.

In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt.

Bedeutung

Hilberträume spielen in der Funktionalanalysis, speziell in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen, und damit auch in der Physik eine große Rolle. Ein Beispiel ist die Quantenmechanik, wo reine Zustände eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur.

Beispiele für Hilberträume

Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt.

Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume

• Der Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{n}$ mit dem reellen Standardskalarprodukt $\langle u,v\rangle =u_{1}v_{1}+\dotsb +u_{n}v_{n}$.

• Der Koordinatenraum $\mathbb {C} ^{n}$ mit dem komplexen Standardskalarprodukt $\langle u,v\rangle ={\bar {u}}_{1}v_{1}+\dotsb +{\bar {u}}_{n}v_{n}$.

• Der Matrizenraum ${\mathbb {K} }^{m\times n}$ der reellen oder komplexen Matrizen mit dem Frobenius-Skalarprodukt.

Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume

Der Folgenraum $\ell ^{2}$ aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle separablen unendlichdimensionalen Hilberträume isometrisch isomorph zu $\ell ^{2}$ sind.

Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume

Der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen $L^{2}$ mit dem Skalarprodukt $\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int {\overline {f(x)}}\,g(x)\,{\rm {d}}x$. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über L^p-Räume.

Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume

Der Raum $\mathrm {AP} ^{2}$ der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu $\lambda \in \mathbb {R}$ betrachte man die Funktionen $f_{\lambda }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ mit $f_{\lambda }\left(t\right)=e^{i\lambda t}$. Durch das Skalarprodukt $\textstyle \langle f,g\rangle =\lim _{T\to +\infty }{\tfrac {1}{4T}}\int _{-T}^{T}{\overline {f(t)}}\,g(t)\,{\rm {d}}t$ wird der Raum $\operatorname {lin} \left\{f_{\lambda }\colon \lambda \in \mathbb {R} \right\}$ (der von den Funktionen $f_{\lambda }$ aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die Vervollständigung $\mathrm {AP} ^{2}$ dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel.

Beispiele 5 - Sobolev-Raum

Der Sobolev-Raum $H^{p}$ für alle $p\geq 0$ und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen.

Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt

Der Raum $HS$ der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Beispiele 7 - Hardyräume

Für $p=2$ sind der Hardy-Raum $H^{2}(\mathbb {D} )$ und der reelle Hardy-Raum ${\mathcal {H}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ Hilberträume.

Orthogonalität und Orthogonalsysteme

Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. Unter den Orthogonalsystemen spielen die Orthogonalbasen eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. Äquivalent dazu ist, dass die lineare Hülle im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen keine Basis im üblichen Sinn der linearen Algebra (Hamelbasis). Sind diese Basisvektoren darüber hinaus so normiert, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. Die Vektoren $v_{i}$ bilden also genau dann ein Orthonormalsystem, wenn $\langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij}$ für alle $i,j$. Dabei ist $\delta _{ij}$ das Kronecker-Delta.

Mittels des Lemmas von Zorn lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden).

Unterräume

Ein Unterhilbertraum oder Teilhilbertraum eines Hilbertraums ist eine Teilmenge, die mit der Skalarmultiplikation, Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein Untervektorraum ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne abgeschlossen ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als abgeschlossene Unterräume bzw. abgeschlossene Teilräume und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als Unterräume bzw. Teilräume.

Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume

Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als dichter Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner Vervollständigung. Auch ist es möglich einen Quotientenraum bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist.

Analogie zu Banachräumen

Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige Banachräume, wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber normierte Räume sind.

Projektionssatz

Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des Projektionssatzes: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht.

Orthogonalprojektion

Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das orthogonale Komplement, und das Konzept der Orthogonalprojektion. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein komplementärer Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum.

Konjugierter Hilbertraum

Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und konjugiert linear in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum $H$ wie folgt einen weiteren Hilbertraum ${\overline {H}}$ definieren. Als Menge ist ${\overline {H}}=H$, auch die Addition auf ${\overline {H}}$ wird von $H$ übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für ${\overline {H}}$ werden wie folgt erklärt:

skalare Multiplikation: $\lambda \cdot _{\overline {H}}u:={\overline {\lambda }}u$

Skalarprodukt: $\langle u,v\rangle _{\overline {H}}:={\overline {\langle u,v\rangle }}=\langle v,u\rangle$.

Man prüft nach, dass ${\overline {H}}$ mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den konjugierten Hilbertraum. Der zu ${\overline {H}}$ konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder $H$.

Operatoren zwischen Hilberträumen

Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt lineare Abbildungen, im Folgenden lineare Operatoren genannt.

Stetige lineare Operatoren

Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der stetigen Operatoren, die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert.

Stetigkeit eines Operators

Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

• (3c) Die Operatornorm $\|T\|_{\mathcal {L}}:=\sup _{\|v\|_{V}=1}\|T(v)\|_{W}<\infty$

Kompakte Operatoren

Eine stärkere Einschränkung ist die der Kompaktheit. Dabei heißt eine lineare Abbildung $T\colon V\to W$ von einem Banachraum $(V,\|\cdot \|_{V})$ in einen Banachraum $(W,\|\cdot \|_{W})$ kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist:

• (K1) Der Operator $T:V\to W$ bildet jede beschränkte Teilmenge von $V$ auf eine relativ kompakte Teilmenge von $W$ ab.
• (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) Einheitskugel in $V$ ist relativ kompakt in $W$.
• (K3) Jede beschränkte Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $V$ besitzt eine Teilfolge $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$, für die die Bildfolge $(T(x_{n_{k}}))_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiert.

Die Menge der linearen, kompakten Operatoren $T\colon V\to W$ wird hier mit ${\mathcal {K}}(V,W)$ bezeichnet.

Schattenklassen

Die Schattenklassen sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und Operatortopologien definiert.

Unitäre Operatoren

Unitäre Operatoren liefern einen natürlichen Isomorphismenbegriff für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der Kategorie der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als Morphismen. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel.

Satz von Fréchet-Riesz

Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der adjungierte Operator zu einem linearen Operator von $V$ nach $W$ als linearer Operator von $W$ nach $V$ verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator kommutiert, solche Operatoren bilden die Klasse der normalen Operatoren. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem selbstadjungierten Operator.

Operatoralgebren

Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von $V$ nach $V$Operatoralgebren, wobei die Verkettung $T_{2}\circ T_{1}$ zwei Operatoren $T_{1}:V\to V$ und $T_{2}:V\to V$ der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht.

Involutive Operatoralgebren

Mit der Adjungierung als Involution, unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar involutive Banachalgebren. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der Operatornorm bilden eine C*-Algebra.

Unitäre Operatoren

Unitäre Operatoren liefern einen natürlichen Isomorphv für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der Kategorie der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als Morphismen. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel.

Klassifikation

Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind gleichmächtig. Die Kardinalität einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche Hilbertraumdimension oder kurz Dimension genannt wird. Je zwei Hilberträume mit derselben Dimension sind isomorph: Man erhält einen Isomorphismus, indem man eine Bijektion zwischen einer Orthonormalbasis des einen und einer Orthonormalbasis des anderen eindeutig zu einem stetigen linearen Operator zwischen den Räumen fortsetzt. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. Tatsächlich gibt es zu jeder Kardinalzahl einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum $\ell ^{2}(I)$ (wobei $I$ eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst):

$\ell ^{2}(I):=\left\{u\colon I\to K\mid \sum _{i\in I}\left|u(i)\right|^{2}<\infty \right\}$,

wobei $K=\mathbb {R}$ oder $K=\mathbb {C}$ und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur abzählbar viele Summanden ungleich $0$ sind (vgl. unbedingte Konvergenz). Dieser Raum wird versehen mit dem Skalarprodukt

$\langle u,v\rangle :=\sum _{i\in I}{\overline {u(i)}}v(i)$,

welches wohldefiniert ist. Die Vektoren $u_{i}$ mit $u_{i}(j)=\delta _{ij}$ bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes $\ell ^{2}(I)$. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum $\ell ^{2}(I)$ für passendes $I$ ist als Satz von Fischer-Riesz bekannt.

Dualraum

Der topologische Dualraum $H^{\prime }$ der stetigen, linearen Funktionale auf einem Hilbertraum $H$ ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der Satz von Fréchet-Riesz: Jeder reelle Hilbertraum $H$ ist mittels des isometrischen Vektorraumisomorphismus $H\rightarrow H^{\prime },\,v\mapsto \langle v,\cdot \rangle$ isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur semilinear, das heißt ein antiunitärer Operator. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator $H\to H^{\prime }$ lässt sich nämlich in einen unitären Operator $H\to H^{\prime }$ und einen antiunitären Operator $H^{\prime }\to H^{\prime }$ zerlegen), und somit erst recht zu seinem Bidualraum, jeder Hilbertraum ist also reflexiv.

Hilbertraum der L²-integrierbaren Funktionen

Sei ${\mathcal {F}}$ eine Sigma-Algebra auf einer Menge $\Omega$ und $\mu {\text{: }}{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]$ ein vollständiges Maß. Es kann leicht gezeigt werden, dass für messbare Funktionen $f_{1},f_{2}:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ die Abbildung

$\langle f_{1},f_{2}\rangle :=\int \limits _{\Omega }f_{1}\cdot f_{2}{\text{ d}}\mu$

eine positiv semidefinite Bilinearform darstellt, falls

$f_{1},f_{2}\in {\mathcal {L}}^{2}:=\{f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} :\int \limits _{\Omega }f^{2}{\text{ d}}\mu <\infty \}$

gilt.

Der Grund dafür, dass im Allgemeinen keine strikte positive Definitheit gilt, liegt darin, dass für ein $f\in {\mathcal {L}}^{2}$ auch $\langle f,f\rangle =0$ gelten kann, ohne dass $f$ die Nullfunktion ist – nämlich genau dann, wenn $\mu (\{x\in \Omega :f(x)\neq 0\})=0$ (d. h. wenn $f$ nur auf einer Menge ungleich 0 ist, welche eine $\mu$-Nullmenge darstellt).

Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass $f_{1}\sim f_{2}:\Leftrightarrow \langle f_{1}-f_{2},f_{1}-f_{2}\rangle =0$ und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung $L^{2}$.

Dann ist $\langle \cdot |\cdot \rangle$ zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein Skalarprodukt und $\|\cdot \|:={\sqrt {\langle \cdot |\cdot \rangle }}$ damit eine Norm. Somit handelt es sich bei $(L^{2},\|\cdot \|)$ um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem Satz von Fischer-Riesz, dass dieser Raum vollständig ist, sodass er ein Banachraum und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt induziert wird) ein Hilbertraum ist. Dieser findet seine Anwendung z. B. in der Quantenmechanik, aber auch beim Erwartungswert.

Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus $L^{2}$ nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer $\mu$-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich.

Fourierkoeffizient

Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$ und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei $B=(b_{1},b_{2},\dots )$ eine Orthonormalbasis und $v$ ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da $B$ eine Hilbertraumbasis des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten $\alpha _{k}\in \mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$, so dass

$v=\sum _{k}\alpha _{k}b_{k}$

ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als

$\langle b_{n},v\rangle =\left\langle b_{n},\sum _{k}\alpha _{k}b_{k}\right\rangle =\sum _{k}\alpha _{k}\langle b_{n},b_{k}\rangle =\alpha _{n}$,

da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der $n$-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch Fourierkoeffizienten genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der Fourieranalyse darstellen.

RKHS

Wenn man einen Hilbertraum mit einem Kern assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker Stanisław Zaremba erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim Maschinenlernen.

Hilberträume in der Quantenmechanik

Die Axiome der Quantenmechanik besagen, dass die Menge der möglichen Zustände eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine Linearkombination von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt $\langle \psi |\phi \rangle$ zwischen zwei Zuständen $|\psi \rangle$ und $|\phi \rangle$ definiert, dessen Betragsquadrat nach der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand $|\phi \rangle$ befindet, bei einer Messung im Zustand $|\psi \rangle$ vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der Dirac-Notation.) Ist in der Physik also die Rede von dem Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint.

Beispiele sind

• die möglichen Wellenfunktionen eines freien Teilchens sind der Hilbertraum $L^{2}$ aller quadratintegrablen Funktionen $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {C}$ mit dem üblichen $L^{2}$-Skalarprodukt $\textstyle \langle \psi \,|\,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{3}}\psi ^{*}({\vec {x}})\,\phi ({\vec {x}})\,{\rm {d}}{\vec {x}}$.
• die möglichen Spinzustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum $\mathbb {C} ^{2}$ mit dem euklidischen Skalarprodukt auf.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Band 1: Elementary Theory. Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (Pure and Applied Mathematics 100, 1), Kapitel 2: Basics of Hilbert Space and Linear Operators.

Siehe auch

• Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen
• Besselsche Ungleichung
• Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
• Hilbertraumbasis
• Hilbertraum-Tensorprodukt
• Parallelogrammgleichung
• Parsevalsche Gleichung
• Peetre-Ungleichung
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen
• Semihilbertraum und Semiskalarprodukt

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