Affines Schema/Moduln/Exaktheit/Fakt/Beweis

Beweis

Die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

führt zu jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ nach Fakt zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L_{\mathfrak {p}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{\mathfrak {p}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N_{\mathfrak {p}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Wegen Fakt ist dies die Halmversion der Modulhomomorphismen zwischen ${}{\widetilde {L}}$, ${}{\widetilde {M}}$ und ${}{\widetilde {N}}$ im Punkt ${}{\mathfrak {p}}$. Nach Fakt bedeutet dies die Exaktheit des Garbenkomplexes.

Zur bewiesenen Aussage