Algebraerweiterung über Körper/Minimalpolynom und Einsetzung/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten den kanonischen Einsetzungshomorphismus

Dessen Kern ist nach Fakt und nach Fakt ein Hauptideal, sagen wir , wobei wir als normiert annehmen dürfen (im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig). Das Minimalpolynom gehört zu . Andererseits ist der Grad von größer oder gleich dem Grad von , da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist , da beide normiert sind.