Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakterisierung mit Linearfaktoren/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $K$ algebraisch abgeschlossen und $F\in K\left[X\right]$ nicht-konstant. Wir beweisen, dass $F$ in Linearfaktoren zerfällt per Induktion nach $n=\mathrm{deg}F$. Es sei zunächst $n=1$, also $F=a_{1}X+a_0$. Somit ist $F$ bereits ein einzelner Linearfaktor. Angenommen, jedes Polynom $G\in K\left[X\right]$ mit $\mathrm{deg}G=n-1$ zerfalle in Linearfaktoren. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, hat $F$ eine Nullstelle $x_0$. Damit lässt sich $F$ schreiben als $G\cdot (X-x_0)$ mit einem Polynom $G\in K\left[X\right]$. Der Grad von $G$ ist dabei $n-1$. Das folgt direkt daraus, dass ein Körper auch ein Integritätsbereich ist und einer leichten Abwandlung des Beweises aus Aufgabe 8. Wir wissen aus der Induktionsvoraussetzung, dass $G$ in Linearfaktoren zerfällt, also auch $G\cdot (X-x_0)$. Damit zerfällt jedes nicht-konstante Polynom $F\in K\left[X\right]$ in Linearfaktoren.

Die Umkehrung ist trivial, da jeder Linearfaktor eines Polynoms eine Nullstelle repräsentiert.

Zur gelösten Aufgabe