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Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakterisierung mit Linearfaktoren/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Es sei algebraisch abgeschlossen und nicht-konstant. Wir beweisen, dass in Linearfaktoren zerfällt per Induktion nach . Es sei zunächst , also . Somit ist bereits ein einzelner Linearfaktor. Angenommen, jedes Polynom mit zerfalle in Linearfaktoren. Da algebraisch abgeschlossen ist, hat eine Nullstelle . Damit lässt sich schreiben als mit einem Polynom . Der Grad von ist dabei . Das folgt direkt daraus, dass ein Körper auch ein Integritätsbereich ist und einer leichten Abwandlung des Beweises aus Aufgabe 8. Wir wissen aus der Induktionsvoraussetzung, dass in Linearfaktoren zerfällt, also auch . Damit zerfällt jedes nicht-konstante Polynom in Linearfaktoren. Die Umkehrung ist trivial, da jeder Linearfaktor eines Polynoms eine

Nullstelle repräsentiert.