Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakterisierung mit Linearfaktoren/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $K$ algebraisch abgeschlossen und $F\in K\left[X\right]$ nicht-konstant. Wir beweisen, dass $F$ in Linearfaktoren zerfällt per Induktion nach $n=\deg F$. Es sei zunächst $n=1$, also $F=a_{1}X+a_{0}$. Somit ist $F$ bereits ein einzelner Linearfaktor. Angenommen, jedes Polynom $G\in K\left[X\right]$ mit $\deg G=n-1$ zerfalle in Linearfaktoren. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, hat $F$ eine Nullstelle $x_{0}$. Damit lässt sich $F$ schreiben als $G\cdot \left(X-x_{0}\right)$ mit einem Polynom $G\in K\left[X\right]$. Der Grad von $G$ ist dabei $n-1$. Das folgt direkt daraus, dass ein Körper auch ein Integritätsbereich ist und einer leichten Abwandlung des Beweises aus Aufgabe 8. Wir wissen aus der Induktionsvoraussetzung, dass $G$ in Linearfaktoren zerfällt, also auch $G\cdot \left(X-x_{0}\right)$. Damit zerfällt jedes nicht-konstante Polynom $F\in K\left[X\right]$ in Linearfaktoren. Die Umkehrung ist trivial, da jeder Linearfaktor eines Polynoms eine

Nullstelle repräsentiert.

Zur gelösten Aufgabe