Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt/Beweis
Erscheinungsbild
Beweis
- Es sei
eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in die Beziehung
Da ein Körper ist, muss ein Faktor sein, sagen wir . Da aber unter allen Polynomen , die annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen und den gleichen Grad besitzen und folglich muss konstant (), also eine Einheit sein.
- Wegen ist aufgrund von Fakt ein Vielfaches des Minimalpolynoms , sagen wir . Da nach Voraussetzung irreduzibel ist, und da zumindest den Grad besitzt, muss konstant sein. Da schließlich sowohl als auch normiert sind, ist .