Algebraische Kurve/Körpererweiterungen/Punkte/Textabschnitt

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Betrachten wir die durch das Polynom

gegebene Nullstellengebilde im . Dieses ist offenbar leer, da ja für wegen der Nichtnegativität der Quadrate direkt gilt. Wenn man hingegen das gleiche Polynom über auffasst und nach Lösungen in sucht, so ergibt sich eine Vielzahl an Nullstellen. Oder betrachten wir das Polynom

über dem Körper mit zwei Elementen. Für jedes Punktepaar besitzt dieses Polynom den Wert und besitzt keine Nullstelle. Wenn man aber zu dem Körper mit vier Elementen übergeht, also die endliche Körpererweiterung

durchführt, so findet man dort beispielsweise die Lösung , wobei die Restklasse von bezeichnet.

In der algebraischen Geometrie stellt man die Polynome bzw. die zugehörigen Gleichungen in den Mittelpunkt. Dazu braucht man zunächst einen Grundkörper , über dem die Polynome definiert sind. Die zugehörige Nullstellenmenge betrachtet man aber nicht nur in , sondern allgemeiner in , wobei eine (nicht notwendigerweise endliche) Körpererweiterung bezeichnet. Wesentliche Eigenschaften der Polynome werden erst dann sichtbar, wenn man das Lösungsverhalten zu verschiedenen Körpererweiterungen untersucht. Dabei spielt der algebraische Abschluss des Körpers eine besondere Rolle. Es ist aber auch wichtig, sich zu fragen, welche Lösungen es über einem gegebenen Körper gibt. Der reelle Kreis ist ein geometrisch sehr einfaches Objekt. Dagegen ist der rationale Kreis , das durch die gleiche Gleichung definiert wird, ein zahlentheoretisch recht subtiles Objekt, das eng mit pythagoreischen Tripeln zusammenhängt.

Wenn die affin-algebraische Menge zum Ideal ist, so bezeichnen wir die entsprechende Menge über zu einer Körpererweiterung mit , also

wobei das Ideal (als Erweiterungsideal) bzw. ein Erzeugendensystem davon in aufzufassen ist. Für diese Bezeichnung ist es entscheidend, dass man bei nicht nur die (rein mengentheoretische) Nullstellenmenge, sondern auch das definierende Ideal als Teil der Information betrachtet. Ein Extremfall ist, wenn zwei verschiedene Ideale und beide eine leere Nullstellenmenge haben, da sind im Allgemeinen und auch als Punktmenge verschieden. Die Notation orientiert sich auch an dieser Bezeichnungsphilosophie. Einen Punkt nennt man auch einen -Punkt oder einen -rationalen Punkt von .