Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$ den affinen Raum über ${}K$ der Dimension ${}n$.
2. Zwei rationale Funktionen ${}\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und ${}\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit ${}P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, ${}Q_{1},Q_{2}\neq 0$, heißen eine rationale Parametrisierung der algebraischen Kurve ${}V(F)$, wenn

   ${}F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,$

   ist und ${}(\varphi _{1},\varphi _{2})$ nicht konstant ist.

3. Eine stetige Abbildung

   ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

   heißt Morphismus, wenn für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

   $f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$

   zu ${}\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}})$ gehört.

4. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
5. Man nennt die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} \setminus M$, den Singularitätsgrad von ${}M$.
6. Man nennt

   $V_{+}({\mathfrak {a}})={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(P)=0{\text{ für }}{\text{alle homogenen }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$

   das projektive Nullstellengebilde zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Zur gelösten Aufgabe