Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt

   $\{P\in {𝔸}_K^n\mid F_j(P)=0\text{ für alle }j\in J\}$

   das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.

2. Man nennt eine kommutative Gruppe  $M=(M,+,0)$  einen $R$-Modul, wenn eine Operation

   $R\times M⟶M,(r,v)⟼rv=r\cdot v,$

   festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):

   1. $r(su)=(rs)u$,
   2. $r(u+v)=(ru)+(rv)$,
   3. $(r+s)u=(ru)+(su)$,
   4. $1u=u$.
3. Zu  $V\subseteq {𝔸}_K^n$  mit Verschwindungsideal $\mathrm{Id}(V)$ nennt man  $R(V)=K[X_1,\dots ,X_n]/\mathrm{Id}(V)$  den Koordinatenring von $V$.
4. Der Punkt $P$ heißt glatt, wenn

   $\frac{\partial F}{\partial X}(P)\ne 0\text{ oder }\frac{\partial F}{\partial Y}(P)\ne 0$

   gilt.

5. Ein diskreter Bewertungsring $R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in $R$ gibt.
6. Der projektive Raum ${\mathbb{P}}_K^n$ besteht aus allen Geraden des ${𝔸}_K^{n+1}$ durch den Nullpunkt.

Zur gelösten Aufgabe