Algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Verhältnis Tangenten/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen ${}\varphi {\left({\mathbb {A} }_{K}^{1}\right)}\subseteq V(F_{1},\ldots ,F_{m})$ ist die Hintereinanderschaltung ${}F\circ \varphi$ die konstante Abbildung auf den Nullpunkt. Über einem unendlichen Körper sind dann auch die beschreibenden Komponentenpolynome gleich ${}0$. Daher ist nach der (algebraischen) Kettenregel auch

${}0=(T(F\circ \varphi ))_{Q}=(TF)_{P}\circ (T\varphi )_{Q}\,,$

und das ist die Behauptung. Daraus folgt auch der Zusatz, da unter den angegebenen Bedingungen der Kern der Jacobi-Matrix und das Bild der Tangentialabbildung eindimensional sind, also wegen der Inklusion übereinstimmen müssen.

Zur bewiesenen Aussage