Totale Differenzierbarkeit/K/Kettenregel/Fakt

Die Kettenregel

Es seien $V,W$ und $U$ endlichdimensionale $𝕂$-Vektorräume,  $G\subseteq V$  und  $D\subseteq W$  offene Mengen, und $\phi :G\to W$ und $\psi :D\to U$ Abbildungen derart, dass  $\phi (G)\subseteq D$  gilt. Es sei weiter angenommen, dass $\phi$ in  $P\in G$  und $\psi$ in  $\phi (P)\in D$  total differenzierbar sind.

Dann ist $\psi \circ \phi :G\to U$ in $P$ differenzierbar mit dem totalen Differential

${(D(\psi \circ \phi ))}_P={\left(D\psi \right)}_{\phi (P)}\circ {\left(D\phi \right)}_P.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen