Algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Verhältnis Tangenten/Fakt

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

eine durch ${}n$ Polynome ${}\varphi =\left(\varphi _{1}(t),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(t)\right)$ in einer Variablen gegebene Abbildung, deren Bild in der Kurve ${}C=V(F_{1},\ldots ,F_{m})$ liege. Es sei ${}P=\varphi (Q)\in C$.

Dann liegt der (Ableitungs)-Vektor ${}{\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial t}}(Q),\ldots ,{\frac {\partial \varphi _{n}}{\partial t}}(Q)\right)}$ im Kern der durch die Jacobi-Matrix

${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}(P)\right)}_{ij}$

definierten linearen Tangentialabbildung

$(TF)_{P}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}.$

Ist ${}n=2$ und verschwinden nicht beide partiellen Ableitungen von ${}\varphi$ und ist ${}P$ ein glatter Punkt von ${}C$, so definiert der Vektor ${}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial t}}(Q),\,{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial t}}(Q)\right)$ die Richtung der Tangente von ${}C$ in ${}P$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen