Algebraische Singularitäten/Fragestellungen/Bemerkung

Es sei ${}K$ ein Körper (man denke an $K=\mathbb {R}$ oder $K={\mathbb {C} }$) ${}Y\subseteq K^{n}$ die Faser zu einer polynomialen Abbildung ${}F\colon K^{n}\rightarrow K$ und ${}P\in Y$ ein singulärer Punkt von ${}F$. Typische Fragen sind u.A.

1. Wie kann man die singulären Punkte beschreiben?
2. Welche Eigenschaften, die in einem regulären Punkt einer Faser gelten, gelten auch in jedem singulären Punkt? Als Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist ${}Y$ direkt ein metrischer Raum und damit auch ein topologischer Raum, doch das sind sehr allgemeine Konzepte. In einem regulären Punkt handelt es sich lokal um eine Mannigfaltigkeit und diese hat eine wohldefinierte Dimension. Gibt es auch ein sinnvolles Dimensionskonzept in den singulären Punkten? (Krulldimension). Wie sieht es mit einem Tangentialraum in singulären Punkten aus, wie mit Differentialoperatoren?
3. Welche Eigenschaften gelten in manchen singulären Punkten, in manchen nicht? (normal, faktoriell, Cohen-Macaulay). Was sagt das darüber aus, ob man die Singularität als „milde“ oder als schwerwiegend ansehen sollte?
4. Wie kann man die Singularität quantitativ erfassen, wie kann man die Abweichung vom regulären Standardfall messen? Dies führt zu Invarianten (Multiplizität, Milnorzahl, ...).
5. Gibt es abgesehen von der Beschreibung als Faser andere Möglichkeiten, singuläre Räume zu beschreiben?
6. Welche Auswirkungen hat die Existenz eines singulären Punkten ${}P$ auf das Komplement ${}Y\setminus \{P\}$? (Zusammenhangseigenschaften, lokale Fundamentalgruppe, Knoten, lokale Picardgruppe, Divisorenklassengruppe). Kann man die Singularität aus dem Komplement rekonstruieren?
7. Welche Singularitäten lassen sich durch besonders einfache Gleichungen beschreiben? Monomiale Gleichungen, binomiale Gleichungen, ...
8. In regulären Punkten einer Faser ist die Faser lokal diffeomorph zu einen offenen Ball des ${}\mathbb {R} ^{k}$ und somit sind überhaupt alle glatten Punkte der gleichen Dimension untereinander diffeomorph. Wann sind Singularitäten als gleich anzusehen? Was ist ein sinnvoller Isomorphiebegriff für Singularitäten? Inwiefern gibt es für Singularitäten eine besonders einfache Repräsentierung?
9. Ist die Singularität nur ein einzelner Punkt (isolierte Singularität) oder bildet die Singularitätenmenge eine substantielle Teilmenge (Untervarietät)? Im zweiten Fall, sind diese singulären Punkte gleichermaßen singulär oder kann man diese Menge gemäß der Schwere der Singularität ordnen?
10. Ein Punkt in einer Mannigfaltigkeit liegt in abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten unterschiedlicher Dimension. Liegt ein singulärer Punkt auf niedrigerdimensionalen glatten Untervarietäten?
11. Kann man eine Singularität in irgendeiner Weise glätten? (Normalisierung, Singularitätenauflösung).