Algebraische Zahl/Konjugiert/Real und Imaginärteil/Reell-algebraisch/Aufgabe/Lösung

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Sei , , mit . Die komplexe Konjugation ist ein -Algebrahomomorphismus, daher ist

Der Realteil von lässt sich als erhalten und der Imaginärteil als . Da die Summe, die Differenz und das Produkt von algebraischen Zahlen wieder algebraisch ist, und da algebraisch ist (als Nullstelle von ), folgt, dass Real- und Imaginärteil auch algebraisch sind. D.h. zu jeder algebraischen Zahl sind die reellen Koordinaten auch algebraisch.

Wir setzen und behaupten, dass ist und der Grad daher zwei ist (da ist).

Die Inklusion „ “ haben wir soeben gezeigt. Die andere Inklusion folgt daraus, dass algebraisch ist.