Algebraische Zahl/Konjugiert/Real und Imaginärteil/Reell-algebraisch/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}P\in \mathbb {Q} [X]$, ${}P\neq 0$, mit  ${}P(z)=0$.  Die komplexe Konjugation ist ein ${}\mathbb {R}$-Algebrahomomorphismus, daher ist

${}P({\overline {z}})={\overline {P}}({\overline {z}})={\overline {P(z)}}={\overline {0}}=0\,.$

Der Realteil von ${}z$ lässt sich als  ${}a={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$  erhalten und der Imaginärteil als  ${}b={\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}$.  Da die Summe, die Differenz und das Produkt von algebraischen Zahlen wieder algebraisch ist, und da ${}{\mathrm {i} }$ algebraisch ist (als Nullstelle von ${}X^{2}+1$), folgt, dass Real- und Imaginärteil auch algebraisch sind. D.h. zu jeder algebraischen Zahl  ${}z=a+b{\mathrm {i} }$  sind die reellen Koordinaten auch algebraisch.

Wir setzen  ${}T={\mathbb {A} }\cap \mathbb {R}$  und behaupten, dass  ${}{\mathbb {A} }=T+T{\mathrm {i} }$  ist und der Grad daher zwei ist (da ${}{\mathrm {i} }\notin \mathbb {R}$ ist).

Die Inklusion „ ${}\subseteq$ “ haben wir soeben gezeigt. Die andere Inklusion folgt daraus, dass ${}{\mathrm {i} }$ algebraisch ist.

Zur gelösten Aufgabe