Algebren/Tensorprodukt/Produktstruktur/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $A$ und $B$ Algebren über $K$. Zeige, dass $A{\otimes }_{K}B$ ebenfalls eine $K$-Algebra ist, wobei die $1$ durch $1\otimes 1$ und die Multiplikation für zerlegbare Tensoren durch

$(a\otimes b)\cdot (c\otimes d):=(a\cdot c)\otimes (b\cdot d)$

festgelegt ist.

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