Kommutative Ringtheorie/Algebra/Körper/Direkt/Definition

Algebra

Es sei $K$ ein Körper und sei $A$ ein $K$-Vektorraum. Man nennt $A$ eine kommutative $K$-Algebra, wenn es ein ausgezeichnetes Element $1$ und eine Verknüpfung, genannt Multiplikation,

$A\times A⟶A,(a,b)⟼a\cdot b,$

gibt, die die Bedingungen

1. Es ist

   $1\cdot a=a$

   für alle  $a\in A$. 

2. Die Verknüpfung ist assoziativ.
3. Es ist

   $a\cdot b=b\cdot a$

   für alle  $a\in A$. 

4. Für  $c\in K$  und  $a\in A$  ist

   $ca=(c1)\cdot a,$

   wobei $ca$ und $c1$ die Skalarmultiplikation bezeichen.

erfüllen.