Kommutative Ringtheorie/Algebra/Körper/Direkt/Definition

Algebra

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ ein ${}K$-Vektorraum. Man nennt ${}A$ eine kommutative ${}K$-Algebra, wenn es ein ausgezeichnetes Element ${}1$ und eine Verknüpfung, genannt Multiplikation,

$A\times A\longrightarrow A,\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,$

gibt, die die Bedingungen

1. Es ist

   ${}1\cdot a=a\,$

   für alle ${}a\in A$.

2. Die Verknüpfung ist assoziativ.
3. Es ist

   ${}a\cdot b=b\cdot a\,$

   für alle ${}a\in A$.

4. Für ${}c\in K$ und ${}a\in A$ ist

   ${}ca=(c1)\cdot a\,,$

   wobei ${}ca$ und ${}c1$ die Skalarmultiplikation bezeichen.

erfüllen.