Kommutative Ringtheorie/Algebra/Körper/Direkt/Definition

Algebra

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ ein ${}K$-Vektorraum. Man nennt ${}A$ eine kommutative ${}K$-Algebra, wenn es ein ausgezeichnetes Element ${}1$ und eine Verknüpfung, genannt Multiplikation,

$A\times A\longrightarrow A,\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,$

gibt, die die Bedingungen

1. Es ist

   ${}1\cdot a=a\,$

   für alle  ${}a\in A$. 

2. Die Verknüpfung ist assoziativ.
3. Es ist

   ${}a\cdot b=b\cdot a\,$

   für alle  ${}a\in A$. 

4. Für  ${}c\in K$  und  ${}a\in A$  ist

   ${}ca=(c1)\cdot a\,,$

   wobei ${}ca$ und ${}c1$ die Skalarmultiplikation bezeichen.

erfüllen.