Allgemeine Transformationsformel/Substitutionsregel/Bemerkung

Wenn  $M=[c,d]$  und  $N=[a,b]$  und

$\phi :M⟶N$

eine differenzierbare bijektive streng wachsende Funktion ist, so gilt für eine stetige Funktion

$f:N⟶ℝ$

die Substitutionsregel

${\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_c^{d}f(\phi (s))\cdot {\phi }^{\prime }(s)ds.$

Um eine mit der allgemeinen Transformationsformel vergleichbare Substitutionsformel zu haben, muss man auf $M$ die Funktion  $g=f\circ \phi$  mit dem Maß ${\lambda }^1$ und auf $N$ die Funktion  $f=(f\circ \phi )\circ {\phi }^{-1}$  betrachten. Die Substitutionsregel liefert dann

${\int }_c^{d}f(\phi (s))ds={\int }_a^{b}f(\phi ({\phi }^{-1}(t)))\cdot ({\phi }^{-1}{)}^{\prime }(t)dt={\int }_a^{b}f(t)\frac{1}{{\phi }^{\prime }({\phi }^{-1}(t))}dt.$

Links steht das Integral ${\int }_{M}f\circ \phi d{\lambda }^1$, also muss rechts das Integral ${\int }_{N}fd{\phi }_{\ast }{\lambda }^1$ stehen. Somit wird das Bildmaß ${\phi }_{\ast }{\lambda }^1$ durch die Dichte $\frac{1}{{\phi }^{\prime }({\phi }^{-1}(t))}$ bezüglich ${\lambda }^1$ gegeben. Das Bildmaß ist auch durch

$\begin{array}{cc}\left({\phi }_{\ast }{\lambda }^1\right)([r,s])& ={\lambda }^1({\phi }^{-1}([r,s]))\\ & ={\lambda }^1([{\phi }^{-1}(r),{\phi }^{-1}(s)])\\ & ={\phi }^{-1}(s)-{\phi }^{-1}(r)\\ & ={\int }_r^s\frac{1}{{\phi }^{\prime }({\phi }^{-1}(u))}du\end{array}$

bestimmt.