Bildmaß/Allgemeine Transformationsformel/Fakt

Allgemeine Transformationsformel

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine messbare Abbildung. Es sei ${}\nu$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$, das ebenfalls als ${}\sigma$-endlich vorausgesetzt sei, und es sei

$f\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine ${}\nu$-integrierbare Funktion.

Dann ist auch ${}f\circ \varphi$ ${}\mu$-integrierbar, und es gilt

${}\int _{N}f\,d\nu =\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen