Allgemeine lineare Gruppe/R/Definiere differenzierbare Gruppenstruktur/Aufgabe

Betrachte die allgemeine lineare Gruppe ${}G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\subseteq \mathbb {R} ^{n^{2}}$ als offene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{n^{2}}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf ${}G$, also ein neutrales Element ${}P\in G$, eine differenzierbare Abbildung

$\alpha \colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto \alpha (x),$

und eine differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon G\times G\longrightarrow G,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

derart, dass ${}G$ mit diesen Daten zu einer Gruppe wird.

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