Es seien L {\displaystyle {}L} und M {\displaystyle {}M} zwei C k {\displaystyle {}C^{k}} -Mannigfaltigkeiten mit Atlanten ( U i , U i ′ , α i , i ∈ I ) {\displaystyle {}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)} und ( V j , V j ′ , β j , j ∈ J ) {\displaystyle {}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)} . Es sei 1 ≤ ℓ ≤ k {\displaystyle {}1\leq \ell \leq k} . Eine stetige Abbildung
heißt eine C ℓ {\displaystyle {}C^{\ell }} -differenzierbare Abbildung, wenn für alle i ∈ I {\displaystyle {}i\in I} und alle j ∈ J {\displaystyle {}j\in J} die Abbildungen
C ℓ {\displaystyle {}C^{\ell }} -differenzierbar sind.
und 
zwei 
-Mannigfaltigkeiten
mit
Atlanten
und 
.
Es sei
.
Eine
stetige Abbildung
-differenzierbare Abbildung, wenn für alle
und alle 
die Abbildungen
-differenzierbar
sind.
