Allgemeine und spezielle lineare Gruppe/Determinante/Isomorphiesatz/Beispiel

Die Determinante

$det:{\mathrm{GL}}_n\left(K\right)⟶K^{\times },M⟼detM,$

ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, der Kern ist nach Definition die spezielle lineare Gruppe ${\mathrm{SL}}_n\left(K\right)$. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie

${\mathrm{GL}}_n\left(K\right)/{\mathrm{SL}}_n\left(K\right)\cong K^{\times }.$