Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Fakultätsfunktion

   $\mathbb {R} _{>-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \operatorname {Fak} \,x.$

2. Die offene Kugel mit Mittelpunkt  ${}x\in M$  und Radius  ${}r\in \mathbb {R} _{+}$  in einem metrischen Raum ${}M$.
3. Die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ in einem Punkt  ${}x\in L$. 

4. Der Abschluss einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}M$.
5. Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem metrischen Raum ${}M$.
6. Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung ${}v'=f(t,v)$, wobei

   $f\colon I\times U\longrightarrow V$

   ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ${}I$ ein Intervall und ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge ist).

7. Ein Anfangswertproblem in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$.
8. Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung

   $f\colon V\longrightarrow W,$

   wobei ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. 

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