Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

1. Die Abbildung ${}\varphi$ heißt messbar, wenn für jede messbare Menge ${}T\subseteq N$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ messbar ist.
2. Das Produkt der topologischen Räume ${}X$ und ${}Y$ ist die Produktmenge ${}X\times Y$ zusammen mit derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge  ${}W\subseteq X\times Y$  genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form ${}U\times V$ mit offenen Mengen  ${}U\subseteq X$  und  ${}V\subseteq Y$  schreiben kann.
3. Der Subgraph ist die Menge

   ${}S(f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,.$

4. Die beiden Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$ heißen ${}C^{k}$-diffeomorph, wenn es zwischen ihnen einen ${}C^{k}$-Diffeomorphismus gibt.
5. Das Tangentialbündel ist die Menge

   ${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$

   versehen mit der Projektionsabbildung

   $\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P$

   und derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge  ${}W\subseteq TM$  genau dann offen ist, wenn für jede Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   die Menge ${}(T(\alpha )){\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in ${}V\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.

6. Für eine Borelmenge  ${}T\subseteq M$  wird das Maß von ${}T$ zu ${}\omega$ über eine abzählbare Zerlegung  ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$  (wobei ${}T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und ${}\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist)

   ${}\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$

   definiert.

Zur gelösten Aufgabe