Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Dynkin-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ und ${}S\subseteq T$ gehört auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, mit paarweise disjunkten Mengen ${}T_{i}$ ist auch

      $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$

2. Ein Maßraum besteht aus einer Menge ${}M$, auf der eine ${}\sigma$-Algebra ${}{\mathcal {A}}$ und ein Maß

   $\mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

   erklärt ist.

3. Eine offene Untermannigfaltigkeit ist ${}U$ versehen mit den eingeschränkten Karten.
4. Das Kotangentialbündel von ${}M$ ist die Menge

   ${}T^{*}M=\biguplus _{P\in M}T_{P}^{*}M\,,$

   versehen mit der Projektionsabbildung

   $\pi \colon T^{*}M\longrightarrow M,\,(P,u)\longmapsto P,$

   und derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge  ${}W\subseteq T^{*}M$  genau dann offen ist, wenn für jede Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   die Menge ${}(T^{*}(\alpha ))^{-1}{\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in ${}V\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}$ ist.

5. Eine ${}k$-Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt exakt, wenn es eine differenzierbare ${}(k-1)$-Differentialform ${}\sigma$ auf ${}M$ mit ${}d\sigma =\omega$ gibt.
6. Der Rand von ${}M$ ist durch

   ${}\partial M={\left\{x\in M\mid \alpha _{i}(x)\in \partial H\cap V_{i}{\text{ für }}{\text{ein }}i\in I\right\}}\,$

   definiert, wobei ${}\alpha _{i}$ Karten sind.

Zur gelösten Aufgabe