Wir betrachen das
Anfangswertproblem
-
und wollen es mit einem
Potenzreihenansatz
lösen. Es sei also
-
![{\displaystyle {}y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8463cd10ac45192f7b479133b0ca424e933b7c)
die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}^{\prime }&=\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}t^{k-1}\\&={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}^{2}t-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}+t^{3}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}t^{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a702fb6a98f841ec114353466def0ea02401da)
Die Anfangsbedingung legt
fest. Für den konstanten Term
(also zu
)
ergibt sich aus der Potenzreihengleichung
-
![{\displaystyle {}a_{1}=-a_{0}+1=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a3aab5b26f2f94d6d72f27ebde37ec5d8bc871)
Für
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}2a_{2}=a_{0}^{2}-a_{1}+1=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf9a1a5ab1741721022f22c5d3d6998ace5ce36)
Für
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}3a_{3}=2a_{0}a_{1}-a_{2}+{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701226698b9eefb3fd90b742a63aa7afe3b39e84)
also ist
.
Für
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}4a_{4}=2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}-a_{3}+1+{\frac {1}{6}}=1-{\frac {1}{6}}+1+{\frac {1}{6}}=2\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6aa896b1563ee636b0158cfc4f315b4a9e7a78a)
also ist
.
Für
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}5a_{5}=2a_{0}a_{3}+2a_{1}a_{2}-a_{4}+{\frac {1}{24}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}=-{\frac {11}{24}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72883c487182cba510bde6b2035d8b4156338776)
also ist
.
Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung
ist demnach
-