Gewöhnliche Differentialgleichung/Potenzreihenansatz/Durchführung/Bemerkung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Es sei ein Anfangswertproblem

zu einem

Vektorfeld

gegeben, wobei die Komponentenfunktionen

, , polynomial (oder durch Potenzreihen gegeben) seien. Dann lässt sich ein Potenzreihenansatz für die Lösung durchführen. Das bedeutet, dass man den Ansatz

mit unbestimmten Koeffizienten macht, und diese Koeffizienten (bis zu einem gewünschten Grad) aus den Gleichungen

sukzessive bestimmt. Die Anfangsbedingung

legt dabei die konstanten Koeffizienten fest. In das Differentialgleichungssystem werden die Potenzreihen links und rechts eingesetzt und ausgewertet, wobei die Ableitung links formal zu nehmen ist und rechts die Reihen formal zu addieren und zu multiplizieren sind. Dies ergibt Gleichungen für Potenzreihen in , die durch Koeffizientenvergleich, beginnend mit den Koeffizienten von kleinem Grad, gelöst werden können.