Anfangswertproblem/Ortsunabhängig/1 durch (t^2-1)/y(5) ist 3/Beispiel

Wir betrachten das ortsunabhängige Anfangswertproblem

$y'={\frac {1}{t^{2}-1}}{\text{ mit der Anfangsbedingung }}y(5)=3.$

Die Funktion ${}{\frac {1}{t^{2}-1}}$ besitzt die Partialbruchzerlegung

${}{\frac {1}{t^{2}-1}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{t-1}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{t+1}}\,,$

daher sind die Stammfunktionen (wir beschränken uns auf ${}t>1$) gleich

${}y(t)={\frac {1}{2}}\cdot \ln(t-1)-{\frac {1}{2}}\cdot \ln(t+1)+c\,.$

Die Anfangsbedingung ${}y(5)=3$ führt auf

${}{\frac {1}{2}}\cdot \ln 4-{\frac {1}{2}}\cdot \ln 6+c=3\,,$

also ist

${}c=3-{\frac {1}{2}}\cdot \ln 4+{\frac {1}{2}}\cdot \ln 6\,$

und die Lösungsfunktion des Anfangswertproblems ist

$y(t)={\frac {1}{2}}\cdot \ln(t-1)-{\frac {1}{2}}\cdot \ln(t+1)+3-{\frac {1}{2}}\cdot \ln 4+{\frac {1}{2}}\cdot \ln 6\,.$