Anfangswertproblem/Zweiter Ordnung/y'' ist y' y+sin t/Anfang (0,1)/Potenzreihenansatz/Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=y^{\prime }y+\sin t\text{ mit }y(0)=0\text{ und }{y}^{\prime }(0)=1$

und wollen es mit einem Potenzreihenansatz lösen. Es sei also

$y(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{t}^k,$

die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit

$\begin{array}{cc}{\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{t}^k\right)}^{\prime \prime }& =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)a_k{t}^{k-2}\\ & =\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{a}_k{t}^{k-1}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{t}^k\right)+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{1}{(2n+1)!}{t}^{2n+1}.\end{array}$

Die Anfangsbedingung legt $a_0=0$ und $a_1=1$ fest. Für den konstanten Term (also zu $t^0$) ergibt sich aus der Potenzreihengleichung

$2a_2=a_1{a}_0=0,$

also ist  $a_2=0$.  Für $t^1$ ergibt sich

$6a_3=a_1^2+2a_2{a}_0+1=2$

also ist  $a_3=\frac{1}{3}$.  Für $t^2$ ergibt sich

$12a_4=a_1{a}_2+2a_2{a}_1+3a_3{a}_0=0,$

also ist  $a_4=0$.  Für $t^3$ ergibt sich

$20a_5=a_1{a}_3+2a_2^2+3a_3{a}_1+4a_4{a}_0-\frac{1}{6}=\frac{4}{3}-\frac{1}{6}=\frac{7}{6},$

also ist  $a_5=\frac{7}{120}$.  Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung $5$ ist demnach

$t+\frac{1}{3}{t}^3+\frac{7}{120}{t}^5.$