Differentialgleichungen höherer Ordnung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein offenes Intervall, offen und

eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

eine Differentialgleichung der Ordnung .

Unter einer Lösung einer Differentialgleichung höherer Ordnung versteht man eine -mal differenzierbare Funktion

(wobei ein offenes Teilintervall ist) derart, dass

für alle gilt.

Differentialgleichungen beliebiger Ordnung können unter Inkaufnahme von neuen Variablen auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurückgeführt werden.



Lemma  

Es sei ein Intervall, eine offene Menge und

eine Funktion.

Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

über die Beziehung

äquivalent zum Differentialgleichungssystem

Beweis  

Wenn

eine Lösung der Differentialgleichung höherer Ordnung

ist, so sind alle Funktionen für differenzierbar, und es gilt für nach Definition und schließlich


Wenn umgekehrt

eine Lösung des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld

ist, so ergibt sich sukzessive aus den ersten Gleichungen, dass -mal differenzierbar ist, und die letzte Gleichung des Differentialgleichungssystems besagt gerade



Mit dieser Umformung ist auch klar, wie sinnvolle Anfangsbedingungen für eine Differentialgleichung höherer Ordnung aussehen. Man muss nicht nur einen Startwert , sondern auch die höheren Ableitungen , , usw. festlegen.