Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Konvergente Teilfolge/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}x_{n_{i}}$, ${}i\in \mathbb {N}$, eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert ${}x$. Wir behaupten, dass die Folge ebenfalls gegen ${}x$ konvergiert. Es sei dazu ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Teilfolge gibt es ein ${}i_{0}$ derart, dass für alle ${}i\geq i_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n_{i}}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

gilt. Da eine Cauchy-Folge vorliegt gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

gilt. Daher gilt für ${}n\geq {\max {\left(n_{0},n_{i_{0}}\right)}}$ unter Verwendung eines ${}n_{i}$ mit ${}n_{i}\geq {\max {\left(n_{0},n_{i_{0}}\right)}}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x}\vert =\vert {x_{n}-x_{n_{i}}+x_{n_{i}}-x}\vert \leq \vert {x_{n}-x_{n_{i}}}\vert +\vert {x_{n_{i}}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon \,.$

Zur gelösten Aufgabe