Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Summe/Keine Dezimalbruchfolge/Beispiel

Zu jedem Element  $x\in K$  in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ gibt es nach Fakt eine eindeutig bestimmte Dezimalbruchfolge, die gegen $x$ konvergiert. Zu zwei Elementen $x$ und $y$ muss dabei die Dezimalbruchfolge der Summe $x+y$ nicht die (gliedweise genommene) Summe der einzelnen Dezimalbruchfolgen sein. Beispielsweise ist die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl $\frac{7}{9}$ gleich

$\frac{7}{10},\frac{77}{100},\frac{777}{1000},\frac{7777}{10000},\frac{77777}{100000},\dots$

und die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl $\frac{8}{9}$ gleich

$\frac{8}{10},\frac{88}{100},\frac{888}{1000},\frac{8888}{10000},\frac{88888}{100000},\dots .$

Die Summe dieser beiden Folgen ist

$\frac{15}{10},\frac{165}{100},\frac{1665}{1000},\frac{16665}{10000},\frac{166665}{100000},\dots .$

Dagegen besitzt

$\frac{7}{9}+\frac{8}{9}=\frac{15}{9}$

die Dezimalbruchfolge

$\frac{16}{10},\frac{166}{100},\frac{1666}{1000},\frac{16666}{10000},\frac{166666}{100000},\dots .$

Die oben angegebene Summenfolge konvergiert zwar gegen $\frac{15}{9}$, sie ist aber keine Dezimalbruchfolge.