Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Summe/Keine Dezimalbruchfolge/Beispiel

Zu jedem Element ${}x\in K$ in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ gibt es nach Fakt eine eindeutig bestimmte Dezimalbruchfolge, die gegen ${}x$ konvergiert. Zu zwei Elementen ${}x$ und ${}y$ muss dabei die Dezimalbruchfolge der Summe ${}x+y$ nicht die (gliedweise genommene) Summe der einzelnen Dezimalbruchfolgen sein. Beispielsweise ist die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl ${}{\frac {7}{9}}$ gleich

${\frac {7}{10}},\,{\frac {77}{100}},\,{\frac {777}{1000}},\,{\frac {7777}{10000}},\,{\frac {77777}{100000}},\,\ldots$

und die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl ${}{\frac {8}{9}}$ gleich

${\frac {8}{10}},\,{\frac {88}{100}},\,{\frac {888}{1000}},\,{\frac {8888}{10000}},\,{\frac {88888}{100000}},\,\ldots .$

Die Summe dieser beiden Folgen ist

${\frac {15}{10}},\,{\frac {165}{100}},\,{\frac {1665}{1000}},\,{\frac {16665}{10000}},\,{\frac {166665}{100000}},\,\ldots .$

Dagegen besitzt

${}{\frac {7}{9}}+{\frac {8}{9}}={\frac {15}{9}}\,$

die Dezimalbruchfolge

${\frac {16}{10}},\,{\frac {166}{100}},\,{\frac {1666}{1000}},\,{\frac {16666}{10000}},\,{\frac {1666666}{100000}},\,\ldots .$

Die oben angegebene Summenfolge konvergiert zwar gegen ${}{\frac {15}{9}}$, sie ist aber keine Dezimalbruchfolge.