Angeordneter Körper/Fokus auf R/Betrag/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

In einem angeordneten Körper ist der Betrag eines Elementes folgendermaßen definiert.

Der Betrag ist also nie negativ (da aus die Beziehung folgt, vergleiche Aufgabe) und hat nur bei den Wert , sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung

nennt man auch Betragsfunktion. Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch stückweise linear.



Lemma

Es sei ein angeordneter Körper.

Dann erfüllt die Betragsfunktion

folgende Eigenschaften (dabei seien beliebige Elemente in ).
  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist genau dann, wenn oder ist.
  4. Es ist .
  5. Es ist .
  6. Für ist .
  7. Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).
  8. Es ist .

Beweis

Siehe Aufgabe.


Die Zahl nennt man auch den Abstand der beiden Zahlen und .