Angeordneter Körper/Fokus auf R/Betrag/Einführung/Textabschnitt

Definition

In einem angeordneten Körper ${}K$ ist der Betrag eines Elementes ${}x\in K$ folgendermaßen definiert.

${}\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$

Der Betrag ist also nie negativ (da aus ${}x<0$ die Beziehung ${}-x>0$ folgt, vergleiche Aufgabe) und hat nur bei ${}x=0$ den Wert ${}0$, sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

nennt man auch Betragsfunktion. Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch stückweise linear.

Lemma

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper.

Dann erfüllt die Betragsfunktion

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

folgende Eigenschaften (dabei seien ${}x,y$ beliebige Elemente in ${}K$).

1. Es ist ${}\vert {x}\vert \geq 0$.
2. Es ist ${}\vert {x}\vert =0$ genau dann, wenn ${}x=0$ ist.
3. Es ist ${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ genau dann, wenn ${}x=y$ oder ${}x=-y$ ist.
4. Es ist ${}\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$.
5. Es ist ${}\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$.
6. Für ${}x\neq 0$ ist ${}\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}$.
7. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).
8. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Die Zahl ${}\vert {x-y}\vert$ nennt man auch den Abstand der beiden Zahlen ${}x$ und ${}y$.