Angeordneter Körper/Keine Nullfolge/Abschätzung/Alternative/Fakt

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}K$. Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.

1. Die Folge ist eine Nullfolge.
2. Es gibt eine positive Zahl ${}\delta$ derart, dass ab einem gewissen ${}n_{0}$ die Abschätzung

   ${}x_{n}\geq \delta \,$

   für alle ${}n\geq n_{0}$ gilt.

3. Es gibt eine positive Zahl ${}\delta$ derart, dass ab einem gewissen ${}n_{0}$ die Abschätzung

   ${}x_{n}\leq -\delta \,$

   für alle ${}n\geq n_{0}$ gilt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen