Beweis
Es sei die Folge keine Nullfolge. Dann gibt es ein
derart, dass es unendlich viele Folgenglieder mit
-
gibt. Dann gibt es auch unendlich viele Folgenglieder mit
-
oder mit
-
Nehmen wir das erste an. Wegen der Cauchy-Eigenschaft für gibt es ein derart, dass
-
für alle
gilt. Wenn man die beiden Aussagen verbindet, so gilt für
und einem mit
-
unter Verwendung von
Fakt (8)
die Abschätzung
-
Dieses wählen wir als .