Angeordneter Körper/Nach oben beschränkt/Supremum/Maximum/Definition

Beschränktheits-Eigenschaften

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $M\subseteq K$  eine Teilmenge.

1. Ein Element  $S\in K$  heißt eine obere Schranke für $M$, wenn  $x\le S$  für alle  $x\in M$  gilt.
2. Ein Element  $s\in K$  heißt eine untere Schranke für $M$, wenn  $x\ge s$  für alle  $x\in M$  gilt.
3. $M$ heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für $M$ existiert .
4. $M$ heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für $M$ existiert.
5. $M$ heißt beschränkt , wenn $M$ sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
6. Ein Element  $T\in M$  heißt das Maximum von $M$, wenn  $T\ge x$  für alle  $x\in M$  gilt.
7. Ein Element  $t\in M$  heißt das Minimum von $M$, wenn  $t\le x$  für alle  $x\in M$  gilt.
8. Eine obere Schranke $T$ von $M$ heißt das Supremum von $M$, wenn  $T\le S$  für alle oberen Schranken $S$ von $M$ gilt.
9. Eine untere Schranke $t$ von $M$ heißt das Infimum von $M$, wenn  $t\ge s$  für alle unteren Schranken $s$ von $M$ gilt.