Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{10^{n}}}\,.$

Wenn ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben ist, so gibt es nach Fakt ein ${}m$ mit

${}{\frac {1}{10^{m}}}\leq \epsilon \,.$

Für alle ${}n\geq m$ ist dann

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{10^{n}}}\leq {\frac {1}{10^{m}}}\leq \epsilon \,.$

Zur bewiesenen Aussage