Wegen y > x {\displaystyle {}y>x} ist y − x > 0 {\displaystyle {}y-x>0} und daher gibt es nach Fakt ein k ∈ N {\displaystyle {}k\in \mathbb {N} } mit 1 k < y − x {\displaystyle {}{\frac {1}{k}}<y-x} . Nach Fakt gibt es auch ein n ∈ N {\displaystyle {}n\in \mathbb {N} } mit n 1 k > x {\displaystyle {}n{\frac {1}{k}}>x} und ein n ′ ∈ Z − {\displaystyle {}n'\in \mathbb {Z} _{-}} mit n ′ 1 k ≤ x {\displaystyle {}n'{\frac {1}{k}}\leq x} . Daher gibt es auch ein n ∈ Z {\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} } derart, dass
ist. Damit ist einerseits x < n k {\displaystyle {}x<{\frac {n}{k}}} und andererseits
wie gewünscht.