Assoziierter graduierter Ring/Restklassenring/Hyperfläche über diskretem Bewertungsring/Untergrad/Aufgabe

Es sei ${}B$ ein diskreter Bewertungsring mit lokalem Parameter ${}\pi$ und sei ${}R=B[X_{2},\ldots ,X_{n}]/(F)$ mit der homogenen Zerlegung ${}F=F_{d}+F_{d+1}+\cdots +F_{m}$ in dem Sinne, dass

${}F_{i}=\sum _{\nu ,\sum \nu _{j}=i}u_{\nu }\pi ^{\nu _{1}}X_{2}^{\nu _{2}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$

mit Einheiten ${}u_{\nu }\in B$ ist. Es sei ${}{\mathfrak {m}}={\left(\pi ,X_{2},\ldots ,X_{n}\right)}$. Zeige

${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\cong B/\pi [T_{1},\ldots ,T_{n}]/({\tilde {F_{d}}})\,$

mit

${}{\tilde {F_{d}}}=\sum _{\nu ,\sum \nu _{j}=d}{\overline {u}}_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}T_{2}^{\nu _{2}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,.$

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