Assoziierter graduierter Ring/Restklassenring/Hyperfläche über diskretem Bewertungsring/Untergrad/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Ringhomomorphismus

K[T_{1},\ldots ,T_{n}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R,\,T_{i}\longmapsto [x_{i}],

(wobei ${}[x_{i}]$ die Klasse von ${}X_{i}$ in ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ bezeichnet, mit ${}X_{1}=\pi$ ) aus Aufgabe. Dabei wird

{}{\tilde {F_{d}}}=\sum _{\nu ,\sum \nu _{j}=d}{\overline {u}}_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}T_{2}^{\nu _{2}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,

auf die Klasse von

\sum _{\nu ,\sum \nu _{j}=d}{\overline {u}}_{\nu }\pi ^{\nu _{1}}X_{2}^{\nu _{2}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}

in ${}{\mathfrak {m}}^{d}/{\mathfrak {m}}^{d+1}$ abgebildet. Wenn es höhere homogene Terme gibt, so zeigt die Gleichung

{}F_{d}=-F_{d+1}-\cdots -F_{m}\,,

dass dies auch zu ${}m^{d+1}$ gehört. Der Homomorphismus ist homogen, sei

{}G=\sum _{\nu ,\sum \nu _{j}=i}{\overline {v}}_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}T_{2}^{\nu _{2}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,

ein Element des Kernes. Dann gehört das Bild zu

{}{\mathfrak {m}}^{i+1}