Aufgabenblatt zu Peano-Axiomen 1/latex
In den folgenden Aufgaben geht es darum, die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen aus den \stichwort {Peano-Axiomen} {} abzuleiten. Dies ist im Allgemeinen mühsam und sollte nur exemplarisch durchgeführt werden, um sich ein Bild von einem formalen Aufbau der Zahlen machen zu können.
Wir erinnern an die Peano-Axiome:
Eine Menge $N$ mit einem ausgezeichneten Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die \stichwort {Null} {}} {} {}
und einer
\zusatzklammer {Nachfolger} {} {-}Abbildung
\maabbeledisp {'} { N} {N
} {n} {n'
} {,}
heißt \definitionswort {natürliche Zahlen}{} \zusatzklammer {oder \stichwort {Dedekind-Peano-Modell} {} für die natürlichen Zahlen} {} {,}
wenn die folgenden
\definitionswortenp{Dedekind-Peano-Axiome}{} erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Das Element $0$ ist kein Nachfolger
\zusatzklammer {die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung} {} {.}
}{Jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist Nachfolger höchstens eines Elementes
\zusatzklammer {d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv} {} {.}
}{Für jede Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
\auflistungzwei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{mit jedem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n'
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}
gelten, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, das zwei Mengen $\N_1$ und $\N_2$, die beide die
\definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiome}{}{}
erfüllen, zueinander isomorph sind. Man gebe also eine bijektive Abbildung
\mathl{\N_1 \rightarrow \N_2}{} an, die $0_1$ in $0_2$ überführt und die die Nachfolgeabbildungen respektiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige ausgehend von den
\definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiomen}{}{,}
dass jedes Element
\mathl{n \in {\mathbb N}}{,} $n \neq 0$, einen Vorgänger besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathbb N}$ eine Menge, die die \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiome}{}{} erfüllt. Definiere eine \anfuehrung{natürliche}{} Addition auf ${\mathbb N}$ und zeige, dass diese Addition kommutativ und assoziativ ist und $0$ als neutrales Element besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\N$ eine Menge, die die \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiome}{}{} erfüllt. Definiere eine \anfuehrung{natürliche}{} Multiplikation auf $\N$. Zeige, dass diese Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, und dass sie $1:= 0'$ als neutrales Element besitzt.
Zeige ferner, dass für diese Multiplikation und für die in Aufgabe 3 definierte Addition das Distributivgesetz gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Leite das Induktionsprinzip für Aussagen (das Beweisverfahren) aus den \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiomen}{}{} ab.
}
{} {}