Auflösbare Gruppe/Restklassengruppe/Aufgabe/Lösung

Wir fixieren eine auflösende Filtrierung

$\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G.$

Es sei

$q\colon G\longrightarrow H$

der Restklassenhomomorphismus. Wir setzen ${}H_{i}=q(G_{i})$, dies ist eine Filtrierung von ${}H$ mit Untergruppen. Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}G_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H_{i+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass ${}H_{i}$ ein Normalteiler in ${}H_{i+1}$ ist, und ziehen dazu Fakt heran. Es sei also ${}h\in H_{i}$ und ${}x\in H_{i+1}$, die wir durch ${}{\tilde {h}}\in G_{i}$ bzw. ${}{\tilde {x}}\in G_{i+1}$ repräsentieren. Dann ist ${}xhx^{-1}=q({\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1})$ und wegen der Normalität von ${}G_{i}$ ist ${}{\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1}\in G_{i}$ und somit ${}xhx^{-1}\in H_{i}$. Wir betrachten die zusammengesetzte surjektive Abbildung

$G_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i}.$

Da ${}G_{i}$ zum Kern dieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund von Fakt eine surjektive Abbildung

$G_{i+1}/G_{i}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i},$

weshalb ${}H_{i+1}/H_{i}$ ebenfalls kommutativ ist.

Zur gelösten Aufgabe