Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Nichtableitbar/Maximal widerspruchsfrei/Aufgabe/Lösung

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Zunächst ist auch

da andernfalls

gelten würde, woraus man mit Hilfe von und der Fallunterscheidungsregel erhalten würde. Wir können also im Folgenden davon ausgehen, dass zu gehört.

Wir betrachten die Menge

mit der durch Inklusion gegebenen Ordnung. Wegen ist diese Menge nicht leer. Es sei eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung

besitzt ebenfalls die Eigenschaft, dass man aus ihr nicht ableiten kann. Eine solche Ableitung nimmt nämlich nur Bezug auf endlich viele Voraussetzungen, und wäre dann schon aus einem der ableitbar. Also besitzt die Kette in eine obere Schranke. Nach dem Lemma von Zorn gibt es also in maximale Elemente. Ein solches ist maximal widerspruchsfrei. Wenn man nämlich zu einem solchen maximalen einen neuen Ausdruck hinzunimmt, so gilt

Doch wegen

ist widersprüchlich.
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