Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Nichtableitbar/Maximal widerspruchsfrei/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist auch

$\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\not \vdash \alpha ,$

da andernfalls

$\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \alpha$

gelten würde, woraus man mit Hilfe von ${}\vdash \alpha \rightarrow \alpha$ und der Fallunterscheidungsregel ${}\Gamma \vdash \alpha$ erhalten würde. Wir können also im Folgenden davon ausgehen, dass ${}\neg \alpha$ zu ${}\Gamma$ gehört.

Wir betrachten die Menge

${}M:={\left\{\Delta \subseteq L^{V}\mid \Delta \supseteq \Gamma ,\,\Delta \not \vdash \alpha \right\}}\,$

mit der durch Inklusion gegebenen Ordnung. Wegen ${}\Gamma \in M$ ist diese Menge nicht leer. Es sei ${}N\subseteq M$ eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung

${}\Theta =\bigcup _{\Delta \in N}\Delta \,$

besitzt ebenfalls die Eigenschaft, dass man aus ihr ${}\alpha$ nicht ableiten kann. Eine solche Ableitung nimmt nämlich nur Bezug auf endlich viele Voraussetzungen, und wäre dann schon aus einem der ${}\Delta$ ableitbar. Also besitzt die Kette in ${}M$ eine obere Schranke. Nach dem Lemma von Zorn gibt es also in ${}M$ maximale Elemente. Ein solches ist maximal widerspruchsfrei. Wenn man nämlich zu einem solchen maximalen ${}\Delta$ einen neuen Ausdruck ${}\beta$ hinzunimmt, so gilt

$\Delta \cup \{\beta \}\vdash \alpha .$

Doch wegen ${}\neg \alpha \in \Gamma \subseteq \Delta \subseteq \Delta \cup \{\beta \}$

ist ${}\Delta \cup \{\beta \}$ widersprüchlich.

Zur gelösten Aufgabe